P3703 树点涂色笔记

又是一道妙题，加深了蒟蒻对 $\text{LCT}$ 的理解。

题意

给定一棵 $n$ 个节点的有根树，根节点为 $1$。最开始每个节点都有颜色，且颜色互不相同。

定义一条路径的权值为：路径上点的不同颜色数。

现在一共会有 $m$ 组询问，每组询问有三种：

• 1 x 将 $x$ 到根节点 $1$ 上的所有点都染色为以前从未出现过的颜色。
• 2 x y 询问 $x \to y$ 路径的权值。
• 3 x 询问 $x$ 的子树内的结点中，到根节点的路径的最大权值。

题解

思路

考虑如何维护 $1$ 操作，容易想到：任一时刻，对于每种颜色，拥有该颜色的点在树上的联通块有且仅有一个，且一定是直上直下的链。

这个性质的存在，使得此题可以用 $\text{LCT}$ 解决。一个经典的处理方法是：

• 对于 $\text{LCT}$ 上的一条边，若两端点的颜色相同，则该边为实边。
• 若两端点颜色不同，该边为虚边。

容易证明这种赋实边、虚边的方法是符合 $\text{LCT}$ 的性质的。

所以操作 $1$ 就可以转换成 $\text{LCT}$ 的 access 操作，即：将 $x \to 1$ 路径上的结点实边断开，再将路径上的边改为实边。

对于操作 $2$，记录一个 $dis_x$ 表示 $x \to 1$ 的路径上经历的虚边数量，即该路径的权值。操作 $2$ 的答案就是 $dis_{x} + dis_{y} - 2 \times dis_{LCA} + 1$。

而操作 $3$ 就是在查询 $x$ 子树内的 $dis$ 最大值，可以用线段树配合 DFS 序解决。

代码实现

这里要详细讲一下 $\text{LCT}$ 里的 access。

回想一下普通 $\text{LCT}$ 里的 access：

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普通 LCT 里的 access:

void access(int x) {
  for (int y = 0; x; y = x, x = fa[x])
    splay(x), son[x][1] = y, pushup(x);
}

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每次 for 循环内的流程是：1. 将 $x$ 旋转到当前 splay 的根。2. 将 $x$ 原本实边断开。3. 将 $x$ 现在的实边连到 $y$。4. $x$ 的实儿子改变，故 pushup。

那么对于这道题，2、3 两个步骤会对 $dis$ 产生影响，具体就是（有点绕）：

• 原树中 $x$ 的，子树中包含 $son_{x, 1}$，的儿子子树 $dis$ 全部加上 $1$。
• 原树中 $x$ 的，子树中包含 $y$，的儿子子树 $dis$ 全部减去 $1$。

所有为了找到那个儿子，又由于 splay 的性质：splay 中序遍历得到的序列，深度递增。所以只需找到 $\bold{\text{LCT}}$ 里 $son_{x, 1} / y$ 子树最左的儿子就行了。

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findroot 代码

int findroot(int x) {
  while (son[x][0]) x = son[x][0];
  return x;
}

access 代码:

void access(int x) {
  for (int y = 0; x; y = x, x = fa[x]) {
    splay(x); int rt;
    if (son[x][1]) {
      rt = findroot(son[x][1]);
      t.update(1, dfn[rt], dfn[rt] + sz[rt] - 1, 1);
    }
    if (y) {
      rt = findroot(y);
      t.update(1, dfn[rt], dfn[rt] + sz[rt] - 1, -1);
    }
    son[x][1] = y;
  }
}

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很不幸，上面两个代码是错的，原因是：findroot 时未 splay，这导致复杂度变为 $O(n^2)$。
但是如果在 findroot 时 splay，会使 access 中的 $x$ 无法成为当前 splay 的根节点，最终死循环。

解决办法也不难，只需将 findroot 中用到的所有 $x$ 存放在一个 vector 中，access 完毕后将 vector 中的所有结点都 splay 一遍即可。

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findroot 和 access 的正确代码:

vector <int> tosplay;
int findroot(int x) {
  while (son[x][0]) x = son[x][0];
  tosplay.emplace_back(x);
  return x;
}
void access(int x) {
  tosplay.clear();
  for (int y = 0; x; y = x, x = fa[x]) {
    splay(x); int rt;
    if (son[x][1]) {
      rt = findroot(son[x][1]);
      t.update(1, dfn[rt], dfn[rt] + sz[rt] - 1, 1);
    }
    if (y) {
      rt = findroot(y);
      t.update(1, dfn[rt], dfn[rt] + sz[rt] - 1, -1);
    }
    son[x][1] = y;
  }
  for (auto p : tosplay) splay(p);
}

本题的所有代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
const int N = 1E5 + 5, M = 20;
int n, m, dep[N], wt[N], dfn[N], tot, sz[N]; 
vector <int> G[N];
struct segt {
  struct node {
    int l, r;
    int tag, mx;
  } t[N << 2];
  int lson(int x) {return x << 1;}
  int rson(int x) {return x << 1 | 1;}
  void pushup(int x) {t[x].mx = max(t[lson(x)].mx, t[rson(x)].mx);}
  void build(int x, int l, int r) {
    t[x].l = l; t[x].r = r; t[x].tag = 0;
    if (l == r) {
      t[x].mx = wt[l];
      return ;
    } int mid = (l + r) >> 1;
    build(lson(x), l, mid); build(rson(x), mid + 1, r);
    pushup(x);
  }
  void upd(int x, int val) {t[x].mx += val; t[x].tag += val;}
  void pushdown(int x) {
    upd(lson(x), t[x].tag); upd(rson(x), t[x].tag);
    t[x].tag = 0;
  }
  void update(int x, int L, int R, int val) {
    if (t[x].l >= L && t[x].r <= R) return upd(x, val);
    int mid = (t[x].l + t[x].r) >> 1; pushdown(x);
    if (L <= mid) update(lson(x), L, R, val);
    if (R > mid) update(rson(x), L, R, val);
    pushup(x);
  }
  int query(int x, int L, int R) {
    if (t[x].l >= L && t[x].r <= R) return t[x].mx;
    int mid = (t[x].l + t[x].r) >> 1, res = 0; pushdown(x);
    if (L <= mid) res = max(res, query(lson(x), L, R));
    if (R > mid) res = max(res, query(rson(x), L, R));
    return res;
  }
  int query(int x) {return query(1, x, x);}
} t;
struct lct {
  int son[N][2], fa[N];
  bool checkroot(int x) {return son[fa[x]][0] != x && son[fa[x]][1] != x;}
  bool checkson(int x) {return son[fa[x]][1] == x;}
  void rotate(int x) {
    int y = fa[x], z = fa[y], chx = checkson(x), chy = checkson(y);
    if (!checkroot(y)) son[z][chy] = x; fa[x] = z;
    son[y][chx] = son[x][!chx]; fa[son[x][!chx]] = y;
    son[x][!chx] = y; fa[y] = x;
  }
  void splay(int x) {
    while (!checkroot(x)) {
      if (!checkroot(fa[x])) rotate(checkson(x) != checkson(fa[x]) ? x : fa[x]);
      rotate(x);
    }
  }
  vector <int> tosplay;
  int findroot(int x) {
    while (son[x][0]) x = son[x][0];
    tosplay.emplace_back(x);
    return x;
  }
  void access(int x) {
    tosplay.clear();
    for (int y = 0; x; y = x, x = fa[x]) {
      splay(x); int rt;
      if (son[x][1]) {
        rt = findroot(son[x][1]);
        t.update(1, dfn[rt], dfn[rt] + sz[rt] - 1, 1);
      }
      if (y) {
        rt = findroot(y);
        t.update(1, dfn[rt], dfn[rt] + sz[rt] - 1, -1);
      }
      son[x][1] = y;
    }
    for (auto p : tosplay) splay(p);
  }
} f;
struct bz {
  int yf[N][M + 1];
  void dfs(int x, int fa) {
    wt[dfn[x] = ++tot] = dep[x]; sz[x] = 1;
    for (auto v : G[x]) {
      if (v == fa) continue;
      dep[v] = dep[x] + 1; yf[v][0] = x; f.fa[v] = x;
      for (int i = 1; i <= M; ++i)
        yf[v][i] = yf[yf[v][i - 1]][i - 1];
      dfs(v, x);
      sz[x] += sz[v];
    }
  }
  int getlca(int u, int v) {
    if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    for (int i = M; ~i; --i)
      if (dep[u] - (1 << i) >= dep[v]) u = yf[u][i];
    if (u == v) return u;
    for (int i = M; ~i; --i)
      if (yf[u][i] != yf[v][i])
        u = yf[u][i], v = yf[v][i];
    return yf[u][0];
  }
  void solve() {
    for (int i = 0; i <= M; ++i) yf[1][i] = 1;
    dep[1] = 1; dfs(1, 0); t.build(1, 1, n);
  }
} b;
signed main(void) {
  ios :: sync_with_stdio(false);
  cin.tie(0); cout.tie(0);
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    int u, v; cin >> u >> v;
    G[u].emplace_back(v);
    G[v].emplace_back(u);
  } b.solve();
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int opt, x; cin >> opt >> x;
    if (opt == 1) f.access(x);
    else if (opt == 2) {
      int y; cin >> y;
      int lca = b.getlca(x, y);
      cout << t.query(dfn[x]) + t.query(dfn[y]) - 2 * t.query(dfn[lca]) + 1 << '\n';
    } else cout << t.query(1, dfn[x], dfn[x] + sz[x] - 1) << '\n';
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cout << t.query(dfn[i]) << ' ';
    cout << '\n';
  }
  return 0;
}

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